第316章 世纪望远镜与几何模型（2/2）
（4）乔凡尼·卡西尼（GiovanniCassi，1625–1712）和让·里歇尔（JeanRicher，1630–1696）的视差法（1672年）
方法：
1672年，卡西尼在巴黎，里歇尔在法属圭亚那（南美洲）同时观测火星。
两地的距离（基线\(B\)）由地球半径和纬度计算。
测量火星视差角\(p\)（相对于背景恒星的位置偏移）。
计算：
\[
d_{\text{火星}}=\frac{B}{\tanp}\approx\frac{B}{p}
\]
已知地球半径\(R_\ops\approx6371\text{k}\)，巴黎与圭亚那的纬度差可计算基线\(B\approx7000\text{k}\)。
测得\(p\approx24\text{角秒}\approx0.0067°\approx0.000117\text{弧度}\)。
因此：
\[
d_{\text{火星}}\approx\frac{7000\text{k}}{0.000117}\approx60\tis10^6\text{k}
\]
根据开普勒第三定律，火星轨道半径\(a_{\text{火星}}\approx1.52\text{AU}\)，因此：
\[
1\text{AU}=\frac{60\tis10^6\text{k}}{1.52}\approx39.5\tis10^6\text{k}
\]
（现代值：1AU≈149.6×10?k，误差约35%，但这是第一次物理测量。）
（5）更精确的测量：金星凌日法（18世纪）
原理：观测金星从太阳表面经过的时间差（不同地点观测）。
1761&1769年，全球科学家合作测量，得到：
\[
1\text{AU}\approx153\tis10^6\text{k}\quad(\text{误差约2%})
\]
3.现代精确值
雷达测距（20世纪后）：向金星发射雷达信号，测量回波时间，计算：
\[
1\text{AU}=149,597,870.7\text{k}\quad(\text{国际天文学联合会定义})
\]
地球公转轨道直径：
\[
2\text{AU}\approx299,195,741\text{k}
\]
4.总结
1.17世纪方法：
利用火星视差（两地观测）计算火星距离。
结合开普勒第三定律推算日地距离（1AU）。
卡西尼的测量（1672年）得到1AU≈39.5×10?k（误差较大）。
2.18世纪改进：
金星凌日法（1761/1769）提高精度至1AU≈153×10?k。
3.现代方法：
雷达测距精确测定1AU=149,597,870.7k。
关键结论
地球轨道直径（2AU）的测量依赖于三角视差法和行星运动定律。
17世纪科学家（如卡西尼）首次用几何方法计算日地距离，尽管误差较大，但奠定了现代天体测量学的基础。
现代值由雷达技术精确测定，但17世纪的方法仍然是科学史上的重要里程碑。
开普勒第三定律（调和定律）详解：
开普勒第三定律是描述行星轨道运动的基本规律之一，揭示了行星轨道周期与轨道大小之间的数学关系。以下是详细解析：
1.开普勒第三定律的表述
＞行星公转周期的平方（T2）与其轨道半长轴的立方（a3）成正比。
＞数学表达式：
＞\[
＞\boxed{\frac{T^2}{a^3}=\text{常数}}
＞\]
＞（适用于围绕同一中心天体运动的所有行星）
关键概念
T：行星绕太阳的公转周期（单位：年或秒）。
a：轨道半长轴（即平均轨道半径，单位：AU或米）。
常数：仅取决于中心天体（太阳）的质量，与行星无关。
2.定律的物理意义
轨道越大，周期越长：
行星离太阳越远（a越大），公转一周所需时间（T）越长。
例如：地球（1AU）公转周期=1年，火星（1.52AU）≈1.88年。
定量关系：
\[
T^2\proptoa^3\quad\Rightarrow\quadT\proptoa^{1.5}
\]
周期随轨道尺寸呈1.5次方增长。
3.数学推导（牛顿万有引力扩展）
开普勒第三定律可通过牛顿万有引力定律和圆周运动公式推导：
1.引力提供向心力：
\[
\frac{GM}{a^2}=\frac{v^2}{a}
\]
\(G\)：万有引力常数
\(M\)：太阳质量
\(\)：行星质量（可约去）
\(v\)：行星轨道速度
2.速度与周期关系（圆周运动）：
\[
v=\frac{2\pia}{T}
\]
3.联立方程：
\[
\frac{GM}{a^2}=\left(\frac{2\pia}{T}\right)^2\cdot\frac{1}{a}
\]
化简后得到：
\[
\boxed{\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM}}
\]
常数\(\frac{4\pi^2}{GM}\)仅由太阳质量决定。
4.实际应用
（1）计算行星轨道周期
例子：已知火星轨道半长轴\(a=1.52\text{AU}\)，求其公转周期\(T\)。
地球的\(T_{\text{地}}=1\text{年}\)，\(a_{\text{地}}=1\text{AU}\)。
根据开普勒第三定律：
\[
\frac{T_{\text{火}}^2}{1.52^3}=\frac{T_{\text{地}}^2}{1^3}\quad\Rightarrow\quadT_{\text{火}}=\sqrt{1.52^3}\approx1.88\text{年}
\]
（2）测定太阳系外行星轨道
观测恒星的周期性摆动（多普勒效应），推算行星的\(T\)。
利用\(T^2\proptoa^3\)，计算行星轨道半长轴。
5.注意事项
1.严格适用于椭圆轨道：
半长轴\(a\)取代圆形轨道的半径\(r\)。
2.中心天体质量必须固定：
若比较不同恒星系统的行星，常数\(\frac{4\pi^2}{GM}\)会变化。
3.忽略其他行星干扰：
实际中，行星间的引力摄动会导致微小偏差。
6.总结
要点说明
定律核心(T^2\proptoa^3)（周期平方与半长轴立方成正比）
适用范围围绕同一中心天体的所有行星（如太阳系行星）
推导基础牛顿万有引力定律+圆周运动
实际应用计算行星轨道、探测系外行星
与第一、二定律关系第一定律（椭圆轨道）、第二定律（面积速度）共同描述行星运动，第三定律定量化
一句话记忆：
“离得越远，转得越慢，且\(T^2\)和\(a^3\)严格成正比！”
直径和周长区别：
地球的轨道直径（2AU）和地球的周长（约40,075k）是两个完全不同的概念，轨道直径并非从地球周长推算而来，而是通过天文观测和几何测量独立确定的。
地球周长的测量（古希腊时代）
埃拉托斯特尼（公元前240年）
方法：比较不同地点太阳影子的角度差异。
在夏至日，亚历山大港（A）和赛伊尼（S）的太阳影子角度差≈7.2°（对应地球中心角）。
已知两城距离≈800k（商队测量）。
计算地球周长：
[
C=\frac{360°}{7.2°}\tis800\text{k}\approx40,000\text{k}
]
误差仅1%，与现代值（40,075k）接近。
现代精确测量（卫星、激光测距）
地球赤道周长=40,075.017k（WGS84标准）。
极地周长≈40,008k（因地球略扁）。
地球轨道直径的测量（天文方法）
（1）火星视差法（17世纪）
1672年，卡西尼和里歇尔分别在巴黎和法属圭亚那观测火星，测量其视差角，推算火星距离。
结合开普勒第三定律，计算日地距离（1AU）。
最终得出：轨道半径≈1AU→直径=2AU。
1.17世纪：火星视差法（首次物理测量）
（1）1672年卡西尼里歇尔实验
方法：
法国天文学家乔凡尼·卡西尼（巴黎）和让·里歇尔（法属圭亚那）同时观测火星。
测量两地观测火星的视差角（视角差异）。
利用地球半径推算基线（两地距离），再计算火星距离。
计算：
[
d_{\text{火星}}=\frac{B}{\tanp}\approx\frac{B}{p}
]
基线（B）≈7,000k（巴黎到圭亚那的距离）。
视差角（p）≈24角秒（0.0067°）。
计算得火星距离≈6,000万k。
推算日地距离（1AU）：
根据开普勒第三定律，火星轨道半径≈1.52AU，因此：
[
1\text{AU}=\frac{60,000,000\text{k}}{1.52}\approx39,500,000\text{k}
]
误差：比现代值（1AU≈1.496亿k）小约35%，但首次实现物理测量。
2.18世纪：金星凌日法（精度提升）
（1）1761&1769年全球观测
方法：
观测金星从太阳表面经过的时间差（不同地点）。
利用三角学计算金星距离，再推算日地距离。
结果：
[
1\text{AU}\approx153,000,000\text{k}\quad(\text{误差约2%})
]
几何关系涉及三个关键量：
在恒星视差测量中，几何关系涉及三个关键量：恒星距离（\(d\)）、地球轨道半径（基线\(B\)）和视差角（\(\theta\)）。只要知道其中任意两个量，就可以计算出第三个。以下是具体说明：
1.基本公式
三者的关系由视差角的定义决定（小角度近似）：
\[
\theta\approx\frac{B}{d}
\]
其中：
\(\theta\)为视差角（单位为弧度），通常很小（角秒级），因此适用小角度近似。
\(B\)是基线长度（地球轨道半径约1AU，即\(1.496\tis10^8\)k）。
\(d\)是恒星距离。
单位转换：若\(\theta\)以角秒（ard）为单位，需转换为弧度（\(1\text{arcsec}=\frac{\pi}{}\text{radians}\)），公式变为：
\[
d=\frac{B}{\theta}
\]
（此时\(d\)的单位与\(B\)相同，例如AU）。
2.已知任意两个量求第三个
(a)已知\(B\)和\(\theta\)，求\(d\)
直接代入公式：
\[
d=\frac{B}{\theta}
\]
示例：
若\(\theta=1\)角秒，\(B=1\)AU，则\(d=1\)秒差距（parsec，约\(3.26\)光年）。
(b)已知\(d\)和\(\theta\)，求\(B\)
变形公式：
\[
B=\theta\cdotd
\]
应用场景：
若已知恒星距离和视差角，可反推基线的有效长度（如验证观测设备精度）。
(c)已知\(d\)和\(B\)，求\(\theta\)
\[
\theta=\frac{B}{d}
\]
应用场景：
设计天文观测时，预估视差角大小以选择合适分辨率的仪器。
3.注意事项
1.小角度近似：公式\(\theta\approxB/d\)仅在\(\theta\)极小时成立（通常适用于恒星距离远大于基线的情况）。
2.单位一致性：确保\(\theta\)以弧度为单位（或转换角秒），否则需调整公式。
3.实际测量限制：
地面观测受大气扰动限制，视差法通常适用于近距恒星（\(d＜1000\)光年）。
空间望远镜（如Gaia）可测量更微小的视差角（微角秒级）。
总结
三者构成直接的几何关系，只要明确其中两个量，第三个量即可通过数学推导得出。这一原理是天文距离测量的基石之一，尤其在视差法测距中广泛应用。
实际应用计算步骤：
在17世纪，利用地球公转轨道直径（基线）和恒星视差角（(\theta)）计算恒星距离的原理，是天体测量学的一项重大突破。虽然当时的技术无法直接测出恒星视差（直到19世纪才首次成功），但理论框架已由伽利略、惠更斯等人提出。以下是这一方法的详细数学和物理原理，以及实际操作中的计算步骤：
一、核心概念与公式
1.视差法（三角视差法）的基本原理
定义：观测同一颗恒星在地球公转轨道两端（如相隔半年）的位置变化，其视线方向的夹角称为周年视差角（\(\theta\)）。
几何关系：恒星距离（\(d\)）、地球轨道半径（基线\(B\)）、视差角（\(\theta\)）构成一个直角三角形，满足：
\[
\tan\theta=\frac{B}{d}\quad\Rightarrow\quadd=\frac{B}{\tan\theta}\approx\frac{B}{\theta}\quad(\text{当}\theta\text{很小时，单位为弧度})
\]
若\(\theta\)以角秒（″）为单位，则公式转换为：
\[
d=\frac{1}{\theta}\text{秒差距（parsec,pc）}
\]
1秒差距=恒星视差为1角秒时的距离≈3.26光年。
2.参数来源
基线（\(B\)）：地球公转轨道的平均半径（1天文单位，AU），约1.496×10?k。实际测量中，基线取轨道直径（2AU）。
视差角（\(\theta\)）：通过望远镜观测恒星在天空中的位置偏移量（需扣除仪器误差和大气干扰）。
二、实际操作中的计算步骤
1.测量视差角（\(\theta\)）
方法：
1.在时间点\(t_1\)（如1月1日）和\(t_2\)（7月1日，相隔半年）分别测量恒星相对于背景遥远天体的位置偏移。
2.记录两次观测中恒星的角位移（\(2\theta\)），则单次视差角为\(\theta\)。
关键工具：
望远镜：放大恒星与背景的微小偏移（如伽利略望远镜分辨率约30″，但实际视差角通常＜1″）。
测微器：测量角位移的精密装置（如17世纪后期可达角秒级精度）。
示例：若观测到某恒星半年内偏移1″，则\(\theta=0.5″\)。
2.计算距离（\(d\)）
公式转换：
地球轨道半径\(B=1\text{AU}\)，视差角\(\theta\)以弧度为单位时：
\[
d=\frac{B}{\theta}\text{AU}
\]
若\(\theta\)以角秒为单位（1弧度≈″），则：
\[
d=\frac{}{\theta}\text{AU}=\frac{1}{\theta}\text{pc}
\]
代入数据：
对\(\theta=0.5″\)的恒星：
\[
d=\frac{1}{0.5}=2\text{pc}\approx6.52\text{光年}
\]
三、17世纪的技术挑战与替代方法
1.为何无法直接测量恒星视差？
仪器限制：17世纪望远镜角分辨率约30″，而最近恒星（如半人马座α星）视差仅0.76″，无法分辨。
大气扰动：地面观测受大气折射影响，掩盖微小角度变化。
2.替代方案：间接估算
惠更斯的日地距离估算：
通过观测火星视差（1672年巴黎与法属圭亚那同步观测），结合几何模型计算基线（地球半径）与火星距离，再推导日地距离（AU）。
公式：
\[
d_{\text{火星}}=\frac{B_{\text{地球}}}{\theta_{\text{火星}}}\quad\Rightarrow\quad1\text{AU}\approxd_{\text{火星}}B_{\text{地球}}
\]
牛顿的理论推导：在《自然哲学的数学原理》中，通过开普勒第三定律和万有引力估算天体距离比例。
四、数学推导示例
1.小角度近似
当\(\theta\)极小（如1″=4.85×10??弧度）时，\(\tan\theta\approx\theta\)，因此：
\[
d\approx\frac{B}{\theta}=\frac{1\text{AU}}{4.85\tis10^{6}}\approx\text{AU}=1\text{pc}
\]
这与现代定义一致。
2.误差分析
若测量\(\theta\)有10%误差（如0.55″而非0.5″），距离误差：
\[
\Deltad=\left|\frac{1}{0.55}\frac{1}{0.5}\right|\approx0.18\text{pc}\quad(\text{约18%})
\]
说明高精度测角对距离计算至关重要。
五、历史意义与现代发展
17世纪贡献：尽管未能直接测出恒星视差，但奠定了理论框架和几何方法。
现代应用：
欧洲空间局（ESA）的盖亚卫星（Gaia）测量恒星视差精度达0.01毫角秒（μas），可测10万光年外的距离。
公式仍沿用\(d=1/\theta\)（pc），但需修正相对论效应和星际消光。
总结
17世纪的视差法原理基于简单的三角几何，但受限于技术，天文学家只能通过间接手段（如行星视差）逼近计算。其核心思想——用已知基线（地球轨道）和测量角度推导距离——至今仍是天体测距的黄金标准。这一过程体现了“观测—模型—计算”的科学方法论，为现代宇宙学奠定了基础。